TEOREMA PADA TURUNAN

Turunan adalah perubahan nilai fungsi pada waktu titik yang sangat kecil (laju perubahan nilai/nilai sesaat). 

Bentuk umum turunan bentuk pangkat

• 
• 

Contoh:

• f(x) = 5x10 – 3x8 + 4x2 – 5

• f'(x) = 50x9 – 24x7 + 8x

Teorema pada turunan

Setidaknya ada delapan teorema dalam turunan fungsi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis tipe soal turunan fungsi. Kedelapan teorema dalam turunan fungsi beserta buktinya dapat disimak pada masing-masing bahasan teorema di bawah.

1. Teorema 1

Turunan dari sebuah konstanta k adalah 0: d/dx k = 0

bukti:

Contoh soal

Turunan pertama dari fungsi y= 13 adalah ...

Jawab:

Nilai 13 merupakan suatu konstanta sehingga turunan pertama dari fungsi y = 13 adalah 0.

2. Teorema 2 (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x) = x maka f'(x) = 1, atau dinotasikan melalui persamaan d/dx x = 1.

bukti:

Contoh soal

Turunan pertama dari fungsi y= 15x adalah ...

jawab:
y = 15x
dy/dx = d(15x)/dx
dy/dx = 15 dx/dx
dy/dx = 15 × 1 = 15

3. Teorema 3 (Aturan Pangkat)

Jika f(x) = xn maka f'(x) = n ⋅ xn−1 dengan n merupakan bilangan bulat positif. Atau secara matematis dapat juga dituliskan dengan persamaan: d(xn) =n⋅ xn-1 dx.

bukti:

Contoh soal:

Turunan pertama dari fungsi y = x5  adalah ...

jawab:

Dx(x5) = 5x5-1 + C
Dx(x5) = 5x4 + C

4. Teorema 4 (aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k dan f berturut-turut adalah konstanta dan suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (kf)'(x) = k ⋅ f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

bukti:

Andaikan F(x) = k⋅f(x) maka akan diperoleh persamaan F'(x) seperti berikut.

contoh soal:

Turunan pertama dari f(x) = 4x3 adalah ...

jawab:

Dx(-5x4 ) = 4 ⋅ Dx(x3)
Dx(-5x4 ) = 4 ⋅ (3x2)
Dx(-5x4 ) = 12x2

5. Teorema 5 (Aturan Jumlah)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

bukti:

Andaikan F(x) = f(x) + g(x) maka:

Contoh soal:

Turunan pertama dari f(x) = 9x4 + 7x adalah ...

jawab:

Dx( 9x4 + 7x) = Dx(9x4) + Dx(7x)
Dx( 9x4 + 7x) = 9 ⋅ Dx(x4) + 7 ⋅ Dx(x)
Dx( 9x4 + 7x) = 9 ⋅ 4x3 + 7 ⋅ 1
Dx( 9x4 + 7x) = 36x3 + 7

6. Teorema 6 (Aturan Selisih)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f – g)'(x) = f'(x) – g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

 

bukti:

Andaikan F(x) = f(x) – g(x) maka turunan fungsi F(x) atau F'(x) akan memenuhi persamaan berikut.

contoh soal:

Turunan pertama dari f(x) = x4 - 3x2 adalah ...

jawab:

Dx( x4 - 3x2) = Dx(x4) - Dx(3x2)
Dx( x4 - 3x2) = 1 ⋅ Dx(x4) - 3 ⋅ Dx(x)
Dx(  x4 - 3x2) = 1 ⋅ 4x3 - 3 ⋅ 1
Dx(  x4 - 3x2) = 4x3 - 3

7. Teorema 7 (Aturan Turunan Hasil Kali)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f × g)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

Bentuk arutan hasil kali sering dinyatakan dalam persamaan u dan v, misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka: Dx(uv) = u⋅Dx(v) + v⋅Dx(u) = uv’ + vu’.

bukti:

Andaikan F(x) = f(x) × g(x) maka turunan fungsi hasil kali akan memenuhi persamaan berikut.

contoh soal:

Jika diketahui: f(x) = (3x2 − 2)(5x − 4) maka f'(x) = ….
A. 45x2 − 24x − 10
B. −45x2 − 24x − 10
C. 45x2 + 24x − 10
D. 45x2 − 24x + 10
E. −45x2 − 24x + 10

Jawab:
Hasil turunan f(x) dari persamaan di atas dapat diselesaikan menggunakan rumus: f(x) = u ⋅ v → f'(x) = u’ ⋅ v + u⋅v’.

Misal:

u = 3x2 − 2 ⟶ u’ = Dx(3x2 − 2) = 6x
v = 5x−4 ⟶ v’ = Dx(5x − 4) = 5

Sehingga,
f'(x) = 6x(5x − 4) + 5(3x2 − 2)
=30x2 − 24x + 15x2 − 10
=45x2 − 24x − 10 (A)

8. Teorema 8 (Aturan hasil bagi)

Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, dengan g(x) ≠ 0 maka

misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka:

Bukti:
Andaikan F(x) = f(x)/g(x) maka turunan fungsi F(x) akan memenuhi persamaan di bawah.

contoh soal:
Tentukan turunan pertama dari persamaan di bawah!

Jawab:
Misakan,
u = 2x − 3 → u’ = Dx(2x − 3) = 2
v = x3 + 5 → v’ = Dx(x3 + 5) = 3x2
Sehingga turunan pertama dari fungsi f(x) dapat dicari seperti cara di bawah.