LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

 

DEFINISI

Limit fungsi trigonometri adalah nilai yang didekati oleh fungsi trigonometri ketika variabel mendekati suatu titik tertentu. Limit ini sering digunakan dalam perhitungan fungsi trigonometri yang kompleks atau fungsi trigonometri dengan variabel dalam kasus tertentu. Cara menghitungnya mirip seperti limit fungsi aljabar, hanya saja fungsi trigonometri wajib diubah terlebih dahulu ke trigonometri agar dapat melihat limit tak tentunya. 

FUNGSI YANG KERAP DIGUNAKAN 

Terdapat 3 fungsi yang kerap digunakan secara umum, diantaranya

1. Sinus (sin)

Fungsi trigonometri sinus adalah berupa perbandingan sisi depan dengan sisi miring sudut segitiga. Fungsi ini dipakai saat sudut segitiga berupa siku-siku atau sudutnya sebesar 90 derajat. Nilai sinus positif ada pada kuadran I dan II, sedangkan nilai negatifnya berada pada kuadran III dan IV.

2. Cosinus (cos)

Fungsi trigonometri cosinus ini merupakan perbandingan sisi segitiga di sudut dengan sisi miring. Perbandingan ini digunakan ketika segitiga adalah segitiga siku-siku atau sudutnya sebesar 90 derajat. Nilai positifnya cosinus berada di kuadran I dan IV. Sedangkan nilai negatifnya terdapat padai kuadran II dan III.

3. Tangen (tan)

Fungsi trigonometri tangen ini berupa perbandingan sisi segitiga di depan sudut, dengan di bagian sudut segitiga. Perbandingan ini digunakan jika segitiga adalah segitiga siku-siku atau sudutnya sebesar 90 derajat. Nilai positifnya berada di kuadran I dan III. Sementara itu, nilai negatifnya ada di kuadran II dan IV.

Manfaat Limit Fungsi Trigonometri

Limit fungsi trigonometri memiliki manfaat dalam kehidupan sehari-hari. Berikut ini manfaat-manfaat tersebut beserta penjelasannya. 

1. Menentukan Batas Integral

Manfaat limit fungsi trigonometri yang pertama adalah untuk menentukan batas integral sebuah fungsi. Artinya, penentuan pun akan menjadi lebih akurat dan tepat. 

2. Penyelesaian Persamaan Diferensial 

Manfaat lainnya yakni terkait penyelesaian persamaan diferensial. Limit ini dapat digunakan menyelesaikan persamaan matematika yang menjelaskan perubahan fungsi terhadap waktu maupun variabel lain.

3. Pemahaman Sifat Suatu 

Fungsi Selain itu, terdapat manfaat lain berupa memahami sifat sebuah fungsi trigonometri. Nantinya, dapat disimpulkan bahwa fungsi tersebut terbatas atau tidak terbatas, berubah atau tidak berubah pada nilai tertentu, dan lain sebagainya. 

4. Penghitungan Lebih Akurat

Manfaat limit fungsi trigonometri yang berikutnya adalah membantu penghitungan menjadi lebih akurat. Hal tersebut terjadi khususnya pada nilai yang sangat dekat dengan batas tertentu. 

5. Kacamata untuk Penggunaan Sehari-Hari 

Limit fungsi trigonometri juga berpengaruh terhadap kacamata yang digunakan oleh orang-orang dengan kemampuan penglihatan tertentu. Kacamata lensa cekung yang digunakan itu memanfaatkan limit fungsi trigonometri. Pasalnya, limit fungsi trigonometri digunakan untuk menghitung besar jarak dari pusat optik atau lensa cekung ke titik fokus utama. oleh sebab itu, penghitungan jarak lensa lebih mudah dan orang dengan rabun jauh pun dapat melihat dengan lebih jelas.

Bentuk-Bentuk Umum Limit Trigonometri

Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Berikutnya, perlu diketahui juga rumus limit fungsi trigonometri untuk mengerjakan beragam soalnya. Berikut ini rumus-rumus yang kerap digunakan: 

1. Limit sin x yakni saat x mendekati 0 adalah 0, rumus tersebut dapat dituliskan yakni lim sin x = 0, x -> 0 2. Limit cos x yakni saat x mendekati 90 derajat adalah 0, rumus tersebut dapat dituliskan yakni lim cos x = 0, x -> 90 

3. Limit tan x yakni saat x mendekati 90 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni lim tan x = ∞, x -> 90 

4. Limit cot x yakni saat x mendekati 0 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni  lim cot x = ∞, x -> 0 

5. Limit sec x yakni saat x mendekati 90 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni lim sec x = ∞, x -> 90 

6. Limit csc x yakni saat x mendekati 0 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni  lim csc x = ∞, x -> 0 

Rumus limit fungsi trigonometri tersebut hanyalah berlaku untuk nilai x yang mendekati batas tertentu. Kemudian jika nilai x tidak mendekati batas tertentu, nilai limit pun dapat berbeda.

Contoh soal 

Pendahuluan Limit Fungsi Bernilai Real

 

Ada kemungkinan bahwa fungsi memiliki variabel yang akan menghasilkan nilai tertentu ketika bilangan substitusi ditambahkan. Misalnya, f(x) = 5x untuk x=2, maka nilai f(x)=5(2) = 10. Namun, ada juga nilai fungsi yang tidak dapat digunakan jika nilai tertentu diganti di variabelnya. 

Pengertian Limit Fungsi

Dalam pendekatan fungsi, limit didefinisikan sebagai batas. Oleh karena itu, limit dapat didefinisikan sebagai nilai yang didekati fungsi saat suatu titik mendekati nilai tertentu. Dalam kata lain, limit fungsi adalah nilai yang diharapkan digunakan oleh fungsi ketika variabel independennya mendekati suatu nilai tertentu atau saat variabel independennya mendekati tak hingga (infinity). 

Notasi Umum fungsi Limit 

notasi limit fungsi dapat dibaca sebagai berikut:

1. Limit x mendekati c mengacu pada variabel independen (x) yang mendekati suatu nilai tertentu (c).

2. Dari f(x) berarti bahwa kita sedang memperhatikan fungsi f(x) yang kita minati perilakunya saat x        mendekati c.

3. Sama dengan A mengindikasikan bahwa kita mencari nilai limit yang diharapkan, yang diberikan            oleh simbol A.

Kami mengikuti tradisi dalam menggunakan huruf Yunani ε (epsilon) dan δ (delta) untuk menyatakan bilangan positif sembarang (biasanya kecil).

Untuk mengatakan bahwa f(x) berada di dalam ε dari L berarti bahwa L - δ < f(x) < L+δ, atau dengan kata lain, f(x) - L < ε . Ini berarti bahwa f(x) berada di dalam interval terbuka (L-ε , L+ε ) yang ditunjukkan pada grafik.

Di samping mengatakan bahwa cukup dekat dengan tetapi berbeda dari adalah mengatakan bahwa untuk beberapa orang berada dalam interval terbuka (c-δ, c+δ ) dengan c dihapus. Mungkin cara terbaik untuk mengatakan hal ini adalah dengan menulis

0 < l x - c l < δ

Perhatikan bahwa l x - c l < δ akan menggambarkan interval c - δ < x < c + δ  sedangkan 0 < l x - c l mengharuskan x = c dikecualikan. Interval yang kita gambarkan seperti di grafik.

Contoh:

Fungsi, Grafik Fungsi, dan Operasi pada Fungsi

Pengertian fungsi dalam matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain), kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Fungsi yang dimaksud, berbeda dengan definisi fungsi dalam artian secara umum.

Artikel ini telah tayang di Katadata.co.id dengan judul "Pengertian Fungsi dalam Matematika, Berikut Contohnya" , https://katadata.co.id/intan/berita/6332c9d93547d/pengertian-fungsi-dalam-matematika-berikut-contohnya
Penulis: Tifani
Editor: Intan

Pengertian fungsi dalam matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain), kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Fungsi yang dimaksud, berbeda dengan definisi fungsi dalam artian secara umum.

Artikel ini telah tayang di Katadata.co.id dengan judul "Pengertian Fungsi dalam Matematika, Berikut Contohnya" , https://katadata.co.id/intan/berita/6332c9d93547d/pengertian-fungsi-dalam-matematika-berikut-contohnya
Penulis: Tifani
Editor: Intan

 A. FUNGSI

1. pengertian fungsi

        Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan         (dinamakan sebagai domai atau variabel bebas) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain atau variabel terikat) yang dapat dinyatakan dengan lambang , atau dapat menggunakan lambang ${\displaystyle g(x)}$, ${\displaystyle P(x)}$.  Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim. Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan real. 

Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan real adalah , yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis .  

2. Notasi Fungsi

    Notasi dasar fungsi adalah cara sederhana untuk menyatakan fungsi matematika tanpa perlu     menggunakan notasi yang lebih rumit. Notasi dasar ini sering digunakan dalam konteks matematika     sehari-hari. Berikut adalah notasi dasar fungsi:

1. Penulisan Fungsi: Fungsi sering kali dilambangkan dengan huruf "f" atau huruf lain, seperti "g" atau "h". Misalnya, jika kita memiliki fungsi yang menghitung harga dengan menggunakan diskon, kita bisa menyebutnya sebagai "f", "g", atau "h", tergantung pada preferensi.

2. Penulisan Input: Input dari fungsi umumnya dilambangkan dengan huruf "x". Misalnya, jika kita ingin menghitung harga dengan diskon berdasarkan harga asli "x", kita akan menggunakan "x" sebagai variabel input.

3. Penulisan Output: Output dari fungsi, yang merupakan hasil perhitungan, dilambangkan dengan "f(x)", yang berarti "fungsi f dengan input x". Ini adalah nilai yang diberikan oleh fungsi untuk input tertentu.

4. Ekspresi Matematika: Fungsi dijelaskan dengan menggunakan ekspresi matematika. Misalnya, jika kita memiliki fungsi sederhana yang mengurangkan 10 dari inputnya, kita dapat menulisnya sebagai:

   f(x) = x - 10
   

   Ini adalah ekspresi matematika yang menggambarkan fungsi. Ini berarti bahwa untuk setiap nilai "x" yang kita masukkan ke dalam fungsi ini, nilai output "f(x)" akan menjadi nilai "x" dikurangi 10.

   Dengan notasi dasar ini, kita dapat menggunakannya untuk menghitung output fungsi untuk berbagai nilai input. Misalnya, jika kita ingin menghitung nilai "f(20)", kita akan menggantikan "x" dengan 20 dalam ekspresi matematika:

   f(20) = 20 - 10 

    

   3. Domain, Kodomain, dan Range
   

   Himpuan A disebut domain (daerah asal), himpunan B adalah kodomain (daerah kawan), dan anggota himpunan B yang memiliki pasangan di A disebut range (daerah hasil). 
   

 

4. Sifat - Sifat Fungsi

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sembarang a₁ dan a₂ ${\displaystyle \in A}$ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Contoh: A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada, fungsi onto atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Contoh: A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}

Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi korespondensi satu-satu, fungsi into, fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.^[4]

Contoh: A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,b), (3,c)} 

 

B. GRAFIK FUNGSI

Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi $f$ adalah grafik dari persamaan $y=f\left(x\right)$. Gambar 1 berikut ini menampilkan grafik dari beberapa fungsi:

 

C. Operasi pada Fungsi

Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada fungsi, sebagai berikut:

• (f+ g)(x) = f (x) + g(x) 
•  (f – g)(x) = f (x) – g(x) 
•  (f .g)(x)  = f (x). g(x) 
•  (f /g)(x) = f (x) / g(x) 

asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dan daerah asal g , yakni {x є R | x ≠ 0 }.

 

contoh :

Diketahui  f(x)=1x  dan  g(x)=x2+1. Tentukan nilai dari:
(a) (f + g)(2)
(b) (f/g)(2)
(c) (f○g)(2)

Jawab:
(a) (f+g)(2) = f(2) + g(2) = 1/2 + 5 = 11/2
(b) (f /g)(2) = f(2) /g(2) = (1/2)/5 = 1/10
(c) (f ○ g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 1/5

 

Penulis: Tifani
Editor: Intan

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya: Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan D f. Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan K f. Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f dilambangkan dengan R f.

Artikel ini telah tayang di Katadata.co.id dengan judul "Pengertian Fungsi dalam Matematika, Berikut Contohnya" , https://katadata.co.id/intan/berita/6332c9d93547d/pengertian-fungsi-dalam-matematika-berikut-contohnya
Penulis: Tifani
Editor: Intan

anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).

Artikel ini telah tayang di Katadata.co.id dengan judul "Pengertian Fungsi dalam Matematika, Berikut Contohnya" , https://katadata.co.id/intan/berita/6332c9d93547d/pengertian-fungsi-dalam-matematika-berikut-contohnya
Penulis: Tifani
Editor: Intan

anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomai

Artikel ini telah tayang di Katadata.co.id dengan judul "Pengertian Fungsi dalam Matematika, Berikut Contohnya" , https://katadata.co.id/intan/berita/6332c9d93547d/pengertian-fungsi-dalam-matematika-berikut-contohnya
Penulis: Tifani
Editor: Intan

pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain), kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).

Artikel ini telah tayang di Katadata.co.id dengan judul "Pengertian Fungsi dalam Matematika, Berikut Contohnya" , https://katadata.co.id/intan/berita/6332c9d93547d/pengertian-fungsi-dalam-matematika-berikut-contohnya
Penulis: Tifani
Editor: Intan

pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain), kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).

Artikel ini telah tayang di Katadata.co.id dengan judul "Pengertian Fungsi dalam Matematika, Berikut Contohnya" , https://katadata.co.id/intan/berita/6332c9d93547d/pengertian-fungsi-dalam-matematika-berikut-contohnya
Penulis: Tifani
Editor: Intan

pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain), kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).

Artikel ini telah tayang di Katadata.co.id dengan judul "Pengertian Fungsi dalam Matematika, Berikut Contohnya" , https://katadata.co.id/intan/berita/6332c9d93547d/pengertian-fungsi-dalam-matematika-berikut-contohnya
Penulis: Tifani
Editor: Intan

pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain), kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).

Artikel ini telah tayang di Katadata.co.id dengan judul "Pengertian Fungsi dalam Matematika, Berikut Contohnya" , https://katadata.co.id/intan/berita/6332c9d93547d/pengertian-fungsi-dalam-matematika-berikut-contohnya
Penulis: Tifani
Editor: Intan