Lihat gambar di bawah ini. Kita dapat mengatakan bahwa f naik di kanan c dan turun di kiri c. Definisi presisinya adalah sebagai berikut.
1. Untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I, dikatakan bahwa f naik pada I jika x1 < x2 → f(x1) < f(x2).
2. Jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I x1 < x2 → f(x1) > f(x2) maka f turun pada I.
3. Jika f meningkat atau menurun pada I, f monoton murni pada I.
A. Keturunan Pertama dan Kemonotan
Ingatlah bahwa turunan pertama f'(x) memberikan kemiringan dari garis singgung pada grafik f di titik x. Oleh karena itu, jika f'(x) > 0, maka garis singgung menaik ke kanan, yang menunjukkan bahwa f menaik, dan jika f'(x) < 0, maka garis singgung menurun ke kanan, menunjukkan bahwa f menurun.
Ini adalah teorema kemotonan.
Dalam contoh berikut, fungsi f dapat didiferensialkan pada titik dalam selang I. Jika f′ (x) lebih besar dari 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I, dan jika f′ (x) kurang dari 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I. Teorema ini memungkinkan kita untuk mengetahui dengan tepat di mana suatu fungsi yang didiferensiasi naik dan di mana fungsi tersebut turun. Ini adalah tugas menyelesaikan dua ketidaksamaan.
Jika f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 7, cari dimana f naik dan di mana f turun.
Penyelesaian:
Kita mulai dengan mencari turunan f
f' (x) = 6x2 - 6x - 12 = 6(x +1)(x-2)
Kita perlu menentukan nilai x yang memenuhi
(x + 1)(x - 2) > 0
dan juga memenuhi
(x + 1)(x - 2) < 0
Titik-titik pemisah adalah -1 dan 2, yang membagi sumbu-x atas tiga interval (-∞ ,-1), (-1, 2) dan (2, ∞ ). Dengan menggunakan titik-titik uji -2,0, dan 3, kita simpulkan bahwa f'(x) > 0 pada interval pertama dan terakhir dan terakhir dan bahwa f'(x) < 0 pada interval tengah (Gambar 1).
Jadi menurut Teorema A, f naik pada (-∞, -1) dan (2, ∞); turun pada (-1, 2). Grafik f diperlihatkan dalam Gambar 2
B. Turunan dan Kecekungan Kedua
Mungkin ada fungsi yang menarik yang tetap memiliki grafik yang sangat bergerak. Untuk menganalisis goyangan, kita harus memahami bagaimana garis singgung bergerak dari kiri ke kanan pada grafik. Jika garis singgung bergerak secara tetap dalam arah yang berlawanan dengan putaran jarum jam, maka grafik cekung ke atas. Jika garis singgung bergerak searah dengan putaran jarum jam, maka grafik cekung ke bawah. Ini adalah definisi yang lengkap.
Misalnya, f dapat didiferensialkan pada selang terbuka I.
1. Jika f ′ naik pada I, itu berarti f cekung ke atas naik pada I.
2. jika f ′ turun pada I, itu berarti f cekung ke bawah naik pada I.
Teorema Kecekungan dapat ditemukan di sini.
Misalnya, f dapat didiferensialkan dua kali pada titik dalam selang I
1. jika f ′′(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f cekung ke atas pada I,
2. jika f ′′(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f cekung ke bawah pada I.
Teorema ini mengubah masalah penentuan kecekungan menjadi masalah menyelesaikan pertidaksamaan untuk sebagian besar fungsi.
Teori Sketsa Grafik
Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganaliis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri grafik. Kita dapat melokasikan titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik belok; kita dapat menentukan secara persis tempat grafik menaik atau tempat cekung ke atas.
Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu.
Langkah 1 : Analisis Prakalkulus
Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan.
Uji kesimetrian terhadap sumbu-y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganji).
Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.
Langkah 2 : Analisis Kalkulus
Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan mengetahui tempat-tempat grafik menaik dan menurun
Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal.
Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik balik.
Cari asimtot-asimtot
Langkah 3 : Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik belok).
Langkah 4 : Sketsakan Grafik.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar