NILAI EKSTRIM FUNGSI DAN TEOREMA NILAI RATA-RATA

Nilai Ekstrim Fungsi

A. Maksimum dan Minimum

     Misalkan, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar berikut, kita diberikan fungsi f(x) dan daerah asal S. Sekarang kita memiliki tiga pertanyaan: Apakah f(x) memiliki nilai maksimum atau minumum pada S? Jika f(x) memiliki nilai maksimum atau minimum, di manakah nilai-nilai tersebut dicapai? Berapakah nilai maksimum dan minimum yang mungkin ada jika ada nilai-nilai tersebut? Lihatlah definisi berikut untuk menentukan jawaban atas pertanyaan Anda.

Misalkan 𝑆 adalah daerah asal 𝑓, mengandung titik 𝑐, kita katakan bahwa: 

1. jika 𝑓(𝑐) ≥ f(x) untuk semua x di 𝑆, maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum 𝑆

2. jika 𝑓(𝑐) ≤ f(x) untuk semua x di S, maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum S

3. 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim 𝑓 pada 𝑆 jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

4. Fungsi objektif adalah fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan.

Sebuah teorema baik menentukan keberadaan nilai maksimum dan minimum: "Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum di sana." F harus kontinu, dan himpunan S harus tertutup interval.

B. Letak Terjadinya Nilai Ekstrim

     Fungsi objektif biasanya memiliki interval I sebagai daerah awalnya. Dalam teorema titik kritis berikut, sebarang titik dalam daerah asal fungsi f yang termasuk salah satu dari tiga kategori titik berikut akan dianggap sebagai titik kritis.

Misalkan f didefinisikan pada interval I yang memuat c; jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah titik kritis, yaitu: 

1. Titik ujung dari I 

2. Titik stationer dari 𝑓, yakni 𝑓 ′ (𝑐) = 0 

3. Titik singular dari 𝑓, yakni 𝑓′(𝑐) tidak ada 

Metode untuk menemukan nilai fungsi maksimum dan minimum di selang tutup:

1. Cari titik-titik kritis dari 𝑓 pada selang tutup yang diberikan. 

2. Cari nilai 𝑓 pada titik-titik kritis. 

3. Nilai yang paling besar pada langkah ke-2 menjadi nilai maksimum dan yang paling kecil menjadi nilai minimum. 

C. Ekstrim Lokal

Berikut ini definisi formal dari maksimum lokal dan minimum lokal.
Misal 𝑆 adalah daerah asal 𝑓 dan 𝑐 𝜖 𝑆. Dapat dikatakan bahwa : 
1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥),∀𝑥 ∈ Ι ⋂ 𝑆 
2. 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥),∀𝑥 ∈ Ι ⋂ 𝑆 
3. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim lokal 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal 

Dimana Nilai-Nilai Ektrim Lokal Terjadi? Berikut dipaparkan Teorema Uji pertama dan Uji kedua Ektrim Lokal
a. Teorema Uji Pertama Ekstrim Lokal 
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b)yang memuat titik kritis 𝑐. 
1. Jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum local. 
2. Jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal. 
3. Jika 𝑓 ′ (𝑥) bertanda sama untuk kedua belah pihak c, maka f (c) bukan nilai ekstrim f 

b. Teorema Uji Kedua Ekstrim Lokal 

Misal 𝑓 dan 𝑓 ′ dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik 𝑐 dengan 𝑓 ′ (𝑐) = 0 

1. Jika 𝑓(𝑐) > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal. 

2. Jika 𝑓(𝑐) < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal. 

TEOREMA NILAI RATA-RATA

Dalam bahasa geometri, Teorema Nilai Rataan mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak tegak pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik di antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar tali-busur AB. Gambar 1 hanya terdapat 1 titik C dan Gambar 2 terdapat beberapa titik C.

Teorema Nilai Rataan untuk Turunan

1. Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan terdiferensiasikan pada titik dalamnya (a,b) maka terdapat paling sedikit satu biangan c dalam (a,b) di mana

f(b) - f(a)/b - a = f'(c)

Atau, secara setara,

f(b) - f(a) = f'(c) (b-a)

2. Jika F'(x) = G'(x) untuk semua x dalam (a,b) maka terdapat konstanta C sedemikian rupa sehingga F(x)=G(x) + C untuk semua x dalam (a,b).

Contoh Soal

Carilah bilangan c yang dijamin oleh Teorema Nilai Rataan untuk f(x) - 2√x pada [1,4]
Penyelesaian
f'(x) = 2 . (1/2x)-1/2 = 1/√x
dan
f(4) - f(1)/4 -1 = 4 -2/3 = 2/3
Jadi kita harus menyelesaikan 
1/√c = 2/3
Penyelesaian tunggalnya adalah c = 9/4 (ditunjukkan pada gambar)