Turunan adalah perubahan nilai fungsi pada waktu titik yang sangat kecil (laju perubahan nilai/nilai sesaat).
Bentuk umum turunan bentuk pangkat
Contoh:
f(x) = 5x10 – 3x8 + 4x2 – 5
f'(x) = 50x9 – 24x7 + 8x
Teorema pada turunan
Setidaknya ada delapan teorema dalam turunan fungsi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis tipe soal turunan fungsi. Kedelapan teorema dalam turunan fungsi beserta buktinya dapat disimak pada masing-masing bahasan teorema di bawah.
1. Teorema 1
Turunan dari sebuah konstanta k adalah 0: d/dx k = 0
bukti:
Contoh soal
Turunan pertama dari fungsi y= 13 adalah ...
Jawab:
Nilai 13 merupakan suatu konstanta sehingga turunan pertama dari fungsi y = 13 adalah 0.
2. Teorema 2 (Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x) = x maka f'(x) = 1, atau dinotasikan melalui persamaan d/dx x = 1.
Jika f(x) = xn maka f'(x) = n ⋅ xn−1 dengan n merupakan bilangan bulat positif. Atau secara matematis dapat juga dituliskan dengan persamaan: d(xn) =n⋅ xn-1 dx.
bukti:
Contoh soal:
Turunan pertama dari fungsi y = x5 adalah ...
jawab:
Dx(x5) = 5x5-1 + C Dx(x5) = 5x4 + C
4. Teorema 4 (aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k dan f berturut-turut adalah konstanta dan suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (kf)'(x) = k ⋅ f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.
bukti:
Andaikan F(x) = k⋅f(x) maka akan diperoleh persamaan F'(x) seperti berikut.
Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, dengan g(x) ≠ 0 maka
misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka:
Bukti: Andaikan F(x) = f(x)/g(x) maka turunan fungsi F(x) akan memenuhi persamaan di bawah.
contoh soal: Tentukan turunan pertama dari persamaan di bawah!Jawab: Misakan, u = 2x − 3 → u’ = Dx(2x − 3) = 2 v = x3 + 5 → v’ = Dx(x3 + 5) = 3x2 Sehingga turunan pertama dari fungsi f(x) dapat dicari seperti cara di bawah.
Dalam matematika dan sains, kita menggunakan kata kontinu untuk menggambarkan proses yang berlangsung tanpa perubahan mendadak. pada ketiga grafik yang ditunjukkan pada gambar, hanya grafik ketiga yang menunjukkan kontinuitas pada c. pada dua grafik pertama,tidak ada, atau ada tetapi tidak sama dengan f(c). hanya pada grafik ketiga
misalkan f didefinisikan pada suatu interval terbuka yang memuat c. kita katakan bahwa f kontinu pada c jika
yang dimaksud dengan definisi ini mensyaratkan tiga hal:
1. ada
2. f(c) ada (yaitu, c berada dalam domain f,) dan
3.
Jika salah satu dari ketiga hal ini gagal, maka f tidak kontinu di c. dengan demikian, fungsi-fungsi yang diwakili oleh grafik pertama dan kedua dari gambar diatas.
Ada beberapa sifat - sifat limit fungsi yang penting diantaranya:
a. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan
b. Sifat Perkalian
c. Sifat Pembagian
d. Sifat Kekuatan Pangkat
e. Sifat Konstanta
f. Sifat Akar
Jenis - Jenis Limit
Ada beberapa jenis limit yang berbeda yang digunakan dalam matematika, tergatung pada konteks dan masalah yang dihadapi. Beberapa jenis limit yang umum termasuk:
A. Limit biasa (limit Fungsi)
Limit fungsi adalah batasan nilai suatu fungsi saat variabel independen mendekati suatu titik tertentu. Ini adalah jenis limit yang paling umum dan dipresentasikan sebagai
B. Limit dari Kiri dan Kanan
Ketika kita mendekati titik c dari sisi kiri (x < c) dan kanan (x > c), bisa ada perbedaan dalam nilai limit. Oleh karena itu, kita memiliki limit dari kiri dan limit dari kanan.
C. Limit Tak Terhingga
Limit tak terhingga terkait dengan suatu fungsi saat variabel independen mendekati nilai tak terhingga positif (∞) atau negatif (-∞). Ini sering digunakan untuk memahami pertumbuhan fungsi saat x mendekati batas tak terhingga.
D. Limit di Titik Tak Tentu (Limit Singular)
Limit ini merupakan jenis limit yang dihitung di titik dimana fungsi tidak terdefinisi atau memiliki singularitas, seperti
E. Limit Fungsi Trigonometri
Perhitungan limit untuk fungsi trigonometri seperti sin (x), cos (x), dan tan (x) melibatkan sifat - sifat terigonometri yang khusus.
F. Limit Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Limit fungsi eksponensial (seperti exp (x)) dan logaritma (seperti In (x)) dapat memiliki karakteristik khusus yang perlu diperhatikan dalam perhitungan dalam perhitungan limit.
G. Limit Fungsi Berpangkat
Limit fungsi berpangkat seperti x^n, dimana n adalah bilangan riil, memiliki aturan - aturan khusus yang digunakan dalam perhitungan limit. Limit fungsi berpangkat terbagi menjadi 2 limit lainnya yaitu Limit Fungsi Berpangkat Negatif (limit ketika x mendekati 0) dan Limit Fungsi Berpangkat Pecahan (limit ketika x mendekati 0 pada fungsi berpangkat pecahan).
Limit fungsi trigonometri adalah nilai yang didekati oleh fungsi trigonometri ketika variabel mendekati suatu titik tertentu. Limit ini sering digunakan dalam perhitungan fungsi trigonometri yang kompleks atau fungsi trigonometri dengan variabel dalam kasus tertentu. Cara menghitungnya mirip seperti limit fungsi aljabar, hanya saja fungsi trigonometri wajib diubah terlebih dahulu ke trigonometri agar dapat melihat limit tak tentunya.
FUNGSI YANG KERAP DIGUNAKAN
Terdapat 3 fungsi yang kerap digunakan secara umum, diantaranya
1. Sinus (sin)
Fungsi trigonometri sinus adalah berupa perbandingan sisi depan dengan sisi miring sudut segitiga. Fungsi ini dipakai saat sudut segitiga berupa siku-siku atau sudutnya sebesar 90 derajat. Nilai sinus positif ada pada kuadran I dan II, sedangkan nilai negatifnya berada pada kuadran III dan IV.
2. Cosinus (cos)
Fungsi trigonometri cosinus ini merupakan perbandingan sisi segitiga di sudut dengan sisi miring. Perbandingan ini digunakan ketika segitiga adalah segitiga siku-siku atau sudutnya sebesar 90 derajat. Nilai positifnya cosinus berada di kuadran I dan IV. Sedangkan nilai negatifnya terdapat padai kuadran II dan III.
3. Tangen (tan)
Fungsi trigonometri tangen ini berupa perbandingan sisi segitiga di depan sudut, dengan di bagian sudut segitiga. Perbandingan ini digunakan jika segitiga adalah segitiga siku-siku atau sudutnya sebesar 90 derajat. Nilai positifnya berada di kuadran I dan III. Sementara itu, nilai negatifnya ada di kuadran II dan IV.
Manfaat Limit Fungsi Trigonometri
Limit fungsi trigonometri memiliki manfaat dalam kehidupan sehari-hari. Berikut ini manfaat-manfaat tersebut beserta penjelasannya.
1. Menentukan Batas Integral
Manfaat limit fungsi trigonometri yang pertama adalah untuk menentukan batas integral sebuah fungsi. Artinya, penentuan pun akan menjadi lebih akurat dan tepat.
2. Penyelesaian Persamaan Diferensial
Manfaat lainnya yakni terkait penyelesaian persamaan diferensial. Limit ini dapat digunakan menyelesaikan persamaan matematika yang menjelaskan perubahan fungsi terhadap waktu maupun variabel lain.
3. Pemahaman Sifat Suatu
Fungsi Selain itu, terdapat manfaat lain berupa memahami sifat sebuah fungsi trigonometri. Nantinya, dapat disimpulkan bahwa fungsi tersebut terbatas atau tidak terbatas, berubah atau tidak berubah pada nilai tertentu, dan lain sebagainya.
4. Penghitungan Lebih Akurat
Manfaat limit fungsi trigonometri yang berikutnya adalah membantu penghitungan menjadi lebih akurat. Hal tersebut terjadi khususnya pada nilai yang sangat dekat dengan batas tertentu.
5. Kacamata untuk Penggunaan Sehari-Hari
Limit fungsi trigonometri juga berpengaruh terhadap kacamata yang digunakan oleh orang-orang dengan kemampuan penglihatan tertentu. Kacamata lensa cekung yang digunakan itu memanfaatkan limit fungsi trigonometri. Pasalnya, limit fungsi trigonometri digunakan untuk menghitung besar jarak dari pusat optik atau lensa cekung ke titik fokus utama. oleh sebab itu, penghitungan jarak lensa lebih mudah dan orang dengan rabun jauh pun dapat melihat dengan lebih jelas.
Bentuk-Bentuk Umum Limit Trigonometri
Rumus Limit Fungsi Trigonometri
Berikutnya, perlu diketahui juga rumus limit fungsi trigonometri untuk mengerjakan beragam soalnya. Berikut ini rumus-rumus yang kerap digunakan:
1. Limit sin x yakni saat x mendekati 0 adalah 0, rumus tersebut dapat dituliskan yakni lim sin x = 0, x -> 0 2. Limit cos x yakni saat x mendekati 90 derajat adalah 0, rumus tersebut dapat dituliskan yakni lim cos x = 0, x -> 90
3. Limit tan x yakni saat x mendekati 90 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni lim tan x = ∞, x -> 90
4. Limit cot x yakni saat x mendekati 0 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni lim cot x = ∞, x -> 0
5. Limit sec x yakni saat x mendekati 90 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni lim sec x = ∞, x -> 90
6. Limit csc x yakni saat x mendekati 0 derajat adalah tak terhingga, rumus tersebut dapat dituliskan yakni lim csc x = ∞, x -> 0
Rumus limit fungsi trigonometri tersebut hanyalah berlaku untuk nilai x yang mendekati batas tertentu. Kemudian jika nilai x tidak mendekati batas tertentu, nilai limit pun dapat berbeda.
Ada kemungkinan bahwa fungsi memiliki variabel yang akan menghasilkan nilai tertentu ketika bilangan substitusi ditambahkan. Misalnya, f(x) = 5x untuk x=2, maka nilai f(x)=5(2) = 10. Namun, ada juga nilai fungsi yang tidak dapat digunakan jika nilai tertentu diganti di variabelnya.
Pengertian Limit Fungsi
Dalam pendekatan fungsi, limit didefinisikan sebagai batas. Oleh karena itu, limit dapat didefinisikan sebagai nilai yang didekati fungsi saat suatu titik mendekati nilai tertentu. Dalam kata lain, limit fungsi adalah nilai yang diharapkan digunakan oleh fungsi ketika variabel independennya mendekati suatu nilai tertentu atau saat variabel independennya mendekati tak hingga (infinity).
Notasi Umum fungsi Limit
notasi limit fungsi dapat dibaca sebagai berikut:
1. Limit x mendekati c mengacu pada variabel independen (x) yang mendekati suatu nilai tertentu (c).
2. Dari f(x) berarti bahwa kita sedang memperhatikan fungsi f(x) yang kita minati perilakunya saat x mendekati c.
3. Sama dengan A mengindikasikan bahwa kita mencari nilai limit yang diharapkan, yang diberikan oleh simbol A.
Kami mengikuti tradisi dalam menggunakan huruf Yunani ε (epsilon) dan δ (delta) untuk menyatakan bilangan positif sembarang (biasanya kecil).
Untuk mengatakan bahwa f(x) berada di dalam ε dari L berarti bahwa L - δ < f(x) < L+δ, atau dengan kata lain, f(x) - L < ε . Ini berarti bahwa f(x) berada di dalam interval terbuka (L-ε , L+ε ) yang ditunjukkan pada grafik.
Di samping mengatakan bahwa cukup dekat dengan tetapi berbeda dari adalah mengatakan bahwa untuk beberapa orang berada dalam interval terbuka (c-δ, c+δ ) dengan c dihapus. Mungkin cara terbaik untuk mengatakan hal ini adalah dengan menulis
0 < l x - c l < δ
Perhatikan bahwa l x - c l < δ akan menggambarkan interval c - δ < x < c + δ sedangkan 0 < l x - c l mengharuskan x = c dikecualikan. Interval yang kita gambarkan seperti di grafik.
Pengertian fungsi dalam
matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan
sebagai domain), kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai
kodomain). Fungsi yang dimaksud, berbeda dengan definisi fungsi dalam
artian secara umum.
Pengertian fungsi dalam
matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan
sebagai domain), kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai
kodomain). Fungsi yang dimaksud, berbeda dengan definisi fungsi dalam
artian secara umum.
Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domai atau variabel bebas) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain atau variabel terikat) yang dapat dinyatakan dengan lambang , atau dapat menggunakan lambang , . Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim. Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan real.
Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan real adalah , yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis .
2. Notasi Fungsi
Notasi dasar fungsi adalah cara sederhana untuk menyatakan fungsi matematika tanpa perlu menggunakan notasi yang lebih rumit. Notasi dasar ini sering digunakan dalam konteks matematika sehari-hari. Berikut adalah notasi dasar fungsi:
Penulisan Fungsi: Fungsi sering kali dilambangkan dengan huruf "f" atau huruf lain, seperti "g" atau "h". Misalnya, jika kita memiliki fungsi yang menghitung harga dengan menggunakan diskon, kita bisa menyebutnya sebagai "f", "g", atau "h", tergantung pada preferensi.
Penulisan Input: Input dari fungsi umumnya dilambangkan dengan huruf "x". Misalnya, jika kita ingin menghitung harga dengan diskon berdasarkan harga asli "x", kita akan menggunakan "x" sebagai variabel input.
Penulisan Output: Output dari fungsi, yang merupakan hasil perhitungan, dilambangkan dengan "f(x)", yang berarti "fungsi f dengan input x". Ini adalah nilai yang diberikan oleh fungsi untuk input tertentu.
Ekspresi Matematika: Fungsi dijelaskan dengan menggunakan ekspresi matematika. Misalnya, jika kita memiliki fungsi sederhana yang mengurangkan 10 dari inputnya, kita dapat menulisnya sebagai:
f(x) = x - 10
Ini adalah ekspresi matematika yang menggambarkan fungsi. Ini berarti bahwa untuk setiap nilai "x" yang kita masukkan ke dalam fungsi ini, nilai output "f(x)" akan menjadi nilai "x" dikurangi 10.
Dengan notasi dasar ini, kita dapat menggunakannya untuk menghitung output fungsi untuk berbagai nilai input. Misalnya, jika kita ingin menghitung nilai "f(20)", kita akan menggantikan "x" dengan 20 dalam ekspresi matematika:
f(20) = 20 - 10
3. Domain, Kodomain, dan Range
Himpuan A disebut domain (daerah asal), himpunan B adalah kodomain
(daerah kawan), dan anggota himpunan B yang memiliki pasangan di A
disebut range (daerah hasil).
4. Sifat - Sifat Fungsi
Fungsi injektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}
Fungsi surjektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada, fungsi onto atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).
Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}
Fungsi bijektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi korespondensi satu-satu, fungsi into, fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.[4]
Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,b), (3,c)}
B. GRAFIK FUNGSI
Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan
riil, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya
pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y=f(x). Gambar 1 berikut ini menampilkan grafik dari beberapa fungsi:
C. Operasi pada Fungsi
Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada fungsi, sebagai berikut:
(f+ g)(x) = f (x) + g(x)
(f – g)(x) = f (x) – g(x)
(f .g)(x) = f (x). g(x)
(f /g)(x) = f (x) / g(x)
asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dan daerah asal g , yakni {x є R | x ≠ 0 }.
contoh :
Diketahui f(x)=1x dan g(x)=x2+1. Tentukan nilai dari:
(a) (f + g)(2)
(b) (f/g)(2)
(c) (f○g)(2)
Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:
Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan D f.
Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan K f.
Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f dilambangkan dengan R f.
bukti:
bukti:
misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka:
.jpg)
, atau dapat menggunakan lambang 
, 
, 
. 
